Monte Carlo PDE

图 1 玩音乐的最终归宿是转行具身智能。[1] TODO Table of Contents References References [1] 山下清悟, “超かぐや姫！.” [Online]. Available: https://www.netflix.com/title/81756595 [2] J. Park and H. Kang, “RenderMem: Rendering as Spatial Memory Retrieval.” [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/2603.14669 [3] R. I. C. Muchacho and F. T. Pokorny, “Walk on Spheres for PDE-based Path Planning.” [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/2406.01713 [4] C. Jambon, M. S. Nabizadeh, and M. Konaković Luković, “Walk on Decomposed Subdomains: A Hybrid Monte Carlo–Deterministic Solver for Elliptic PDEs,” ACM Trans. Graph., vol. 45, no. 4, July 2026, doi: 10.1145/3811340. [5] Heskey0, “具身智能 - 9 个方向讲透 2025-2026 灵巧手智能.” [Online]. Available: https://zhuanlan.zhihu.com/p/2046746760459171551

1. Monte Carlo PDE Probe-based Walk on Spheres for Efficient Path Reusing [Project] 我自己的文章。 利用路径信息重用高效优化 Walk on Spheres 系列算法。 考虑到 Walk on Spheres 的采样过程，每一步都要在球面上均匀采样一个点作为该点解值的一个无偏估计。由 Off-center 形式的平均值公式可以得到实际上在球内的偏心点按 Poisson Kernel 分布在球面上采样一个点得到的结果也是解值的无偏估计。因此 WoS 均匀采样得到的解值可以为球内每个点所重用，在算法上就是得到一条完整路径后将求解值 Splat 回路径上的每个球内。这个算法被我们称为 Naive Path Reuse，不清楚现在 sig 上那篇 Talking to Neighbors 有没有扩展成这样的形式。 图 1 我们的 Naive Path Reuse 算法 然后考虑到这样 Splat 的开销过于大（球内每个点都需要查询并访存一次），正好 25 年 11 月又出来了 Harmonic Caching 的文章，发现后者正好可以将 Splat 的任务转化为求解几个 Fourier 系数的任务。因此和 HC 类似地在求解域预放置一些探针球，游走时取一个探针球做 Poisson Kernel 采样找到边界，若不存在探针球就 Fallback 到传统的 WoSt 算法，可以验证这个行为仍然是满足布朗运动的。找到 Dirichlet 边界后就将求解到的结果送回探针球中贡献 Fourier 系数。然后就非常快了。 ...