实分析 课程总结笔记

这是我在 2025 年春季于中科大学习于树澄老师的《实分析》[1] 课程时整理的期末考试复习笔记。课程录像已有同学上传到 Bilibili.

实分析复习笔记 期中部分

Lebesgue 测度的建立

1. 集合论基础：规定一类集合的代数性质，使得简单生成元上的性质可被推广

1. 集合的运算，集合列的极限，点集拓扑

• 作业 1a.3：上下极限的等价表述

  • ：事件无穷多次发生
  • ：事件从某时刻开始一直在发生

  相关的定理：Borel-Cantelli 引理，Fatou 引理

2. -代数：含有空集（单位元）、对补封闭、对可数并封闭（如果只对有限并封闭则称为代数）

3. Borel -代数：包含 中所有开集的最小 -代数。

   要证明性质在 Borel -代数上成立，只需要证明性质对开集成立、对补封闭、对可数并封闭即可。而证明对开集成立只需要证明对开区间（ 上）或对方体（ 上）成立。

   而因为 Borel -代数和 Lebesgue 可测集只相差一个零测集，所以可以顺着把性质推广到可测集上。

4. • 集：可数个闭集的交集；
   • 集：可数个开集的交集。

   • 有理数集是 集，但不是 集。

     证明：借助开集结构定理和稠密性说明。

   • 无理数集是 集，但不是 集。

2. 开集结构定理：把集合的结构简化成可研究的简单小单元（代数生成元）

1. 上： 中开集均可唯一写成可数个开区间的不交并。

2. 上： 中开集均可写成可数方体的几乎不交并。2 进方体之类的概念。

   从而可以用方体几乎不交并的结构去逼近任何开集。后面推出可以逼近任何 Lebesgue 可测集（Littlewood 1）。

所以 上可测集的结构是：可数个开区间的并、补操作加一个零测集。

上可测集的结构是：可数个开集的并、补操作加一个零测集，或可数个方体的并、补操作加一个测度小于 的集合。

3. 外测度：规定一个对任何集合都存在的，可计算的，性质稍差的测度

1. 定义：方体覆盖测度下界

2. 基础性质：空集、单点集、可数点集为零测集。

3. 性质：单调性，次可数可加性，外正则性，特殊集合下的有限可加性（距离大于0的集合、两两不交紧集）。

4. 推论：线性变换下保持测度（作业 1c.3,4）。限制在 Lebesgue 测度下仍然成立。（作业2a.4）

5. 技巧：比较 与 的大小：

   • ：证明 小于任何方体覆盖的体积和。
   • ：证明对 存在方体覆盖体积满足 。

4. Lebesgue 测度：保留 Borel -代数性质，逼近性质，可数可加性，连续性的好性质

1. 可测性：

2. 等价条件：Caratheodory 条件 （作业2a.3）在抽象测度下也能很好地表述。可测集将任何两个集合切成两部分，保持两部分的和仍为原测度。

3. 基础性质：, Borel -代数是 Lebesgue 可测集的真子集（作业 3a.2）。零测集可测；对可数并、补封闭（对可数交封闭）开集均可测（闭集均可测)。

“好+小”：任何可测集只和 Borel 集相差一个零测集。（讲义定理 1.38，对于 集，一侧是由 Lebesgue 可测的定义动机直接得来，另一侧则由零测集可测性质保证。）

任何可测集只和方体覆盖、外部开集、内部闭（紧！）集相差一个测度小于 的集合。

4. 重要性质：可数可加性。从而推出可以减。

   证明：有界情形取相差 的紧子集求并即可。无界情形加个极限，把全空间划分成可数个有界集合，再用有界集合的可数可加性加起来。

5. 测度连续性：单调集列极限的测度是测度的极限。递减集额外要求测度从某时刻起有限。

   单调递增情形把单调集列变成增量并的形式再用可数可加性，研究从集合并到级数的对应即可。

   单调递减情形取第一个有限集和后面集合的差集（就是想办法取补），就和递增情形相同了。

6. 可测集只和内部紧集，有限方体几乎不交并相差一个测度小于 的集合。（Littlewood 1）

   紧集：取 与内部闭集相交，得到一列递增集列，由测度连续性逼近。

   有限方体几乎不交并：把外部开集写成方体几乎不交并，再套一层测度连续性。

7. 不可测集：补充在后面。

8. “插值”：（作业2b.1）紧集的测度有介值性。启发是有包含关系的有界集合间可以连续“插值”。现在看来用 插值更加漂亮。

9. Borel-Cantelli 引理：.

   用概率论的语言表述，就是如果事件概率和是有限的，那么存在事件发生无穷次的概率为 0（？）

   用类似柯西列的想法去反证。

   逐项积分证明（作业5a.3）：

5. 可测函数：对极限、四则运算、minmax、几乎处处相等、几乎处处收敛 封闭

1. 定义：广义实值函数

2. 原始定义：（即 的逆像）可测。

   （等价定义）换成 都行。退一步 去逼近、取补即可。

   （作业 3a.3）只要任意开区间/任意开集/任意闭集/任意Borel集的逆像可测即可推出函数可测。只要用开集结构定理推广到开集上，然后说明对可数并和补封闭即可。

3. 示性函数可测（简单函数可测）， 上连续函数可测。

4. 可测函数对复合不封闭。连续(可测()) 可测（因为开集在连续映射下的逆像仍为开集），可测(连续())不一定可测。（讲义命题 1.57，作业 3a.2）

5. 可测函数对极限（上下极限）封闭。因为极限函数值域的开子集逆像就是函数列值域对应开子集逆像（上下极限意义下是单调集列）的极限。

6. 可测函数对 max, min, 四则运算封闭。对取绝对值封闭。

7. 定义：可测函数的正部和负部。

8. 可测函数在几乎处处相等意义下封闭。(作业 3b.1）连续性在几乎处处相等意义下不封闭。（作业 3b.2，塞一个 Dirichlet 函数即可。）

9. 可测函数在几乎处处收敛意义下封闭。

10. 单调递增函数可测。（作业 3b.2）

6. 简单函数逼近

1. 简单函数：有限个可测集的示性函数的线性组合。存在唯一标准表示：两两不交，系数不等。

2. 阶梯函数：有限个矩体的示性函数的线性组合。

3. 简单函数逼近系列定理

   1. 非负可测函数可以用一列（有紧支集的）非负简单函数单调递增、逐点收敛逼近。

      逼近的形态是： 取 为最高点；底下按照 为步长去“切”函数。

      如果要求紧支集，那就用 再限制一下。

   2. 如果函数有界，就可以一致收敛。

      因为不用限定最高点了。

   3. 任意可测函数可以用一列（有紧支集的）简单函数在绝对值意义下单调递增、逐点收敛逼近。同理可要求有紧支集，可在有界条件下一致收敛。

   4. 可测函数可被阶梯函数几乎处处收敛逼近。

      因为可测集（在这里是简单函数示性的集合）和方体的有限并只差一个测度为 的集合，所以先用简单函数逐点收敛逼近可测函数，再用阶梯函数按 逼近简单函数，最后取“不能逼近的集合”的上极限用 Borel-Cantelli 定理说明不能逼近的函数值的集合是零测集即可（我没看懂那个证明）。

4. Lusin 定理：设集合 可测， 为 上的可测函数，且 几乎处处有限. 则对任意 ，存在闭集 满足 且 连续.

   1. 微积分中的一个引理：连续函数列在一致收敛意义下的极限函数也连续。

   2. 证明：

      1. 先说明简单函数的情形：对每块可测集都能用闭集按 逼近。
      2. 再证明有界可测函数（比几乎处处有限更严）的情形：用简单函数列可以一致收敛逼近它，从而能够说明在限制集下的连续性。限制集可以通过对简单函数连续的闭子集取交得到（闭集可数交仍然为闭集），用 限制即可。
      3. 最后用一个连续双射推广到几乎处处有限的可测函数上：. 取 Sigmoid, 之类的函数也都可以。

   3. 应用：

      1. 任何几乎处处有限的可测函数都离一个连续函数只差测度为 的集合。先用 Lusin 定理得到连续部分的闭集，再用连续函数延拓定理连接这些闭集即可。

5. Egorov 定理：设 , 为可测集 上的可测函数，且 . 若 ，则对任意 ，存在闭子集 满足 且 在 上一致收敛到 .

   1. 想法：令 . 那么存在下标列 使得 ，即满足一致收敛的集合（在测度意义下）足够大。

   2. 证明：

      1. 对于固定的 ， 关于 单调递增且收敛到 . 由测度连续性推出 .
      2. 为每个 取 满足 .
      3. 令 . 那么它与原来的 只相差 （它的形态是什么样的？）；
      4. 说明 上的一致收敛性；(想法:给定 ，则函数在 上和极限函数只差 )
      5. 再给 取一个相差 的闭子集 即可。

   3. 理解： 增大会让 变小； 增大会让 增大（且收敛到 ）；所以对于每个 都取合适的 再并起来即可得到一致收敛的集合。但得到的其实还是和测度里 相关的类似“内闭一致收敛”的东西。

Lebesgue 积分

1. 积分理论的建立过程

1.1 非负简单函数

1. 定义：各个集合测度按系数加权求和。另遵循 的规定。

2. 性质：正线性，可加性，单调性，连续性

1.2 非负可测函数

1. 定义：不大于 的简单函数的的积分的上确界

   可积性：仅要求这个上确界是有限值。

2. 性质：正线性，可加性，单调性，连续性；几乎处处意义下相等。

3. 定理（MCT，单调收敛定理）：设 可测， 是 上的非负可测函数. 若 单调递增并收敛到 （可弱化为几乎处处），那么

   1. 证明：单调性可以得到 ；另一侧通过“退一小步”的想法得到 .

   2. 用法：

      1. 简单函数可以单调递增、逐点收敛逼近非负可测函数，从而可以继承性质（正线性证明）；
      2. 可以用于把用 限制区域的函数列 的性质推到 上（连续性证明）。
      3. 可以证明几乎处处相等的函数有相同积分值。取一个比二者都大的几乎处处相等函数即可。（作业 5a.4）

   3. 要求单调，否则有 escape of mass 的反例，与 Fatou 引理情形相同。（作业 5a.3）

4. 定理（逐项积分定理）：设 在可测集 上非负可测，则

   1. 证明：对 RHS 操作，先写成部分和的极限形式，有限求和积分可换，交换后部分和函数单调递增，收敛到 ，因此用 MCT 即可。

5. 可积性的一些命题：设 在可测集 上非负可测。

   1. 被可积函数控制则可积：. 特别地，有界集合上的有界函数可积。这里的“控制”就是给了一个积分的上界。

   2. 可积则 a.e. 有限：.

6. 定理（Fatou 引理）：设 为可测集 上的非负可测函数列. 则

   1. 严格不等号的情形：escape of mass.
   2. 证明：讨论一列“下界函数列” 的极限的积分。一方面，其单调收敛到下极限函数，由 MCT，极限的积分为左式；另一方面， 总成立，因此每项积分小于右式，极限的积分也小于右式。（有更好的概括方式吗？）
   3. 用法：判断极限函数的可积性。

   4. 反 Fatou 引理（作业5b.4）：设 为可测集 上的非负可测函数列，且要求被可积函数 控制. 则

      从而可以两边夹一下，证明非负可测函数的控制收敛定理。

      证明方法是对 函数列用 Fatou 引理。

1.3 可测函数

1. 定义： 正部积分减负部积分

2. 性质：线性性，可数可加性，单调性，三角不等式，绝对连续性，平移不变性，几乎处处意义下相等，可积推出几乎处处有限。

3. 定理（DCT，控制收敛定理）：设 可测， 是 上的可测函数列且几乎逐点收敛到 上某个函数 . 若存在 使得对任意 ，则

   1. 证明：研究 ，用 Fatou 引理说明 , 对非负可测函数 的积分无贡献，从而 的积分收敛到 0.

   2. 可以反过来用于证明 MCT. 主要是讨论收敛目标函数不可积的情形。

4. 推论（BCT，有界收敛定理）：设 可测， 是 上的一列可测函数且 几乎逐点收敛到 上某个函数 . 若 且 在 上一致有界，即存在 使得对任意 对任意 有 ，则

5. 定理（“质量”落在紧集内）：存在紧集 使得 .

   1. 证明：构造越来越大的紧集，用积分的连续性推出紧集内积分的极限是 上的积分，从而可以取得符合要求的紧集。
   2. 可积性并不代表 在无限远处趋于 0，不过如果要求一致连续则没问题（作业 5b.1）。

6. 定理（绝对连续性）： 使得对任意可测集 ，.

   1. 证明：对有界函数该定理显然；利用单调收敛定理将有界函数逼近研究的函数。
   2. 推论：变上限积分函数 关于 一致连续。

1.4 与 Riemann 积分的联系

1. “兼容”性证明：Riemann 可积要求在闭区间上有界。（从 Riemann 积分的定义出发）用阶梯函数去从上、下两个方向逼近，由定义 Riemann 积分意义下积分值即阶梯函数积分的极限；另一方面有界收敛定理说明 Lebesgue 积分意义下的积分值也是阶梯函数积分的极限。所以 Riemann 可积条件下两种积分方式得到的积分值是相同的。

2. 用法：把积分用 Lebesgue 积分相关的定理转化成一系列 Riemann 积分来计算。

3. 定理（Lebesgue）：黎曼可积 几乎处处连续（作业 6a.4）

2. -空间

2.1. 范数的建立与证明

1. 定义略

2. 性质：完备赋范线性空间。以几乎处处相等作为等价类。其中范数要求正定性、齐次性、三角不等式。

3. 定理（Holder 不等式）：

   1. 引理（Young 不等式）：
   2. 证明：将 代入不等式，积分即得.

4. 定理（Minkowski 不等式）：三角不等式，

   1. 证明：写回积分定义，拆成两部，对每一部用 Holder 不等式放缩。

2.2. 完备性

1. 性质：设 ， 在度量 下完备.

2.3. 几种收敛方式

• 逐点收敛

• 一致收敛

• 几乎处处收敛：

• 依测度收敛：

• 依范数收敛：

1. 定理：依范数收敛推出依测度收敛。

2. 定理：几乎一致收敛推出几乎处处收敛。

3. 定理：几乎一致收敛推出依测度收敛。

4. 定理（Egorov)：有限集条件下，几乎处处收敛推出几乎一致收敛。

5. 定理（Lebesgue）：有限集、几乎处处有限条件下，几乎处处收敛推出依测度收敛。

   1. 证明：类似 Egorov 定理的想法。

   2. 观察：.

6. 定理（Riesz）：几乎处处有限条件下，依测度收敛推出存在几乎处处收敛子列。

   1. 证明：证明存在子列使得对于任意 ， 是零测集。这只需要利用依测度收敛条件取出一系列集合 使得不收敛部分越来越少，求和起来有限，再用Borel-Cantelli 定理说明上极限是零测集即可。取出集合还要求随着下标增大，收敛要求 逐渐收敛到 0，以满足定理对任意 的需求。

7. 反例（逐点收敛但不依测度收敛）：无限集上的函数。

8. 反例（依测度收敛但处处不收敛）：“扫描”。

9. （作业 7a.1）“ 收敛推出几乎处处收敛”仅在 可行。

   反例：用一个逐渐缩小的区间不断扫描逐渐扩大的区间，使得每个位置都不收敛，但积分因区间缩小而减小。

2.4. 稠密性定理

1. 定义：任意邻域均与另一集合有交。

2. 定理：则：

   1. 引理（稠密的传递性）：.

   2. 证明：好长……

3. 定理：则： （具有紧支集的连续函数稠密）

   1. 证明：把阶梯函数“连接”起来。

4. 应用：Lebesgue 积分的变量替换法则（换元）：

5. 应用：平移变换的连续性： 则 .

2.5. 性质

1. 有限测度集上 （作业 6b.4）

   证明： 减小，有限集上小于 1 的部分至多增大为 1（无法贡献无穷大），大于 1 的部分一定减小。

2. 上 不同的空间互不包含。具体反例由作业 5a.2，作业 6b.4 给出，用 的形式构造。

方法

1. “好”+“小”

将简单集合的性质推广到可测集主要有两种证明思路：

1. 任何 Lebesgue 可测集只和 Borel 集相差一个零测集。证明性质在简单集合上成立，在可数并、补下保持，并证明零测集不影响性质（或是几乎处处意义下的性质）即可。

2. 任何 Lebesgue 可测集只和外部开集、内部闭（甚至紧）集、方体覆盖相差一个测度小于 的集合。证明性质在开集上成立，并证明 取极限后性质也能保持即可。

2. 用好的逼近坏的

“退 步海阔天空”

1. 作业 1b.1：用开集列逼近闭集、用闭集列逼近开集

2. MCT 的证明

3. 切比雪夫不等式（，作业 5a.1）的应用：

   可以把 逐步收敛到任意一个想要的数，如 0.（作业 4b.3，作业 5b.2）.

方体覆盖

集合的外测度为方体覆盖测度的下极限。

用紧集逼近无限集合

性质在 上成立 性质在 上成立。

性质在 上成立 性质在 上成立。 可以用 MCT 一类的定理推过去。

单调递增集列可以写成增量集合的不交并

从而用 Lebesgue 测度的可数可加性。

Littlewood 三原则

1. 可测集几乎是区间的有限并：“开集结构定理”

2. Lusin: 可测函数几乎是连续函数

3. Egorov: 函数列几乎是一致收敛

特殊的结构

Cantor 集，类 Cantor 集

“某进制下小数部分不含某个数的点集合”。

1. 性质：零测集

   （作业 2b.3）类 Cantor 集：给定一列正实数 满足 （收敛条件），令 为 每个区间中挖去长度为 的开子区间得到的新集合， 称为类 Cantor 集。

   则 . 由此可以构造出测度大于 0 的类 Cantor 集。

2. （作业2a.1）性质：不连通、无内点、是完全集（极限完备）、

3. （作业2a.2）类 Cantor 集之间的映射。

   • Cantor-Lebesgue 函数：将 Cantor 集映射到 上的单调函数。是连续双射。（连续统基数）

不可测集

1. 构造（Vitali）：按有理数划分等价类，每个等价类找一个代表元。

2. 不可测性证明：有理数集可数， 上所有有理数平移后的并有限且充满整个 区间，但是由可数可加性，无限并只能取值 0 或无穷，从而矛盾。

3. 分球悖论

4. （作业 3a.1）Vitali 集的可测子集必为零测集。

5. （作业 3a.1）测度大于 0 的集合必有不可测子集。（用 Vitali 集取并构造）

6. （作业 3a.2）零测集的子集必可测（是零测集）。

7. （作业 3a.2）可测但非 Borel 集：类 Cantor 集给出了测度大于 0 的集合到零测集的连续双射；测度大于 0 的集合必有不可测子集；不可测子集映射到零测集的子集后是可测的（零测集的子集必可测）；Borel 集在连续双射下保持；但是 Borel 集必可测，矛盾。

8. （作业 3a.2）可测(连续()) 映射不保可测性：想法是零测集上的映射一定可测，且可以把不可测集连续映射到零测集上。，合并后的映射即 。